Question

四个函数y=x³，y=|x|，y=x+

1

x

，y=e^x中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的函数的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：先判定四个函数中，是奇函数的有那些，再判定是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的函数．

解答：解：四个函数y=x³，y=|x|，y=x+

1

x

，y=e^x中，是奇函数的有①y=x³，②y=x+

1

x

两个，因为y=|x|是偶函数，y=e^x是非奇非偶的函数，
又①是常见的幂函数，图象在第一象限内从左向右上升，是增函数；
②y=x+

1

x

，用函数单调性定义证明，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴当1≤x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）是增函数，
当0＜x₁＜x₂≤1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）是减函数，
故②不满足条件；
所以，是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的函数只有①；
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，判定一般用定义或图象两种常用方法，是基础题目．