Question

20.

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

   （1）证明：D₁E⊥A₁D;

   （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

   （3）AE等于何值时，二面角D₁—EC－D的大小为.

Answer 1

20.解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴D₁E⊥A₁D

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：建立空间直角坐标系,令D为坐标原点，DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，设AE=x，有A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

即DA₁⊥D₁E.

（2）因为E为AB的中点，则

，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量

∴

由

令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去），

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.