Question

已知函数在区间[m，n]上为增函数，且f(m)f(n)=-4。
（1）当a=3时，求m，n的值；
（2）当f(n)-f(m)最小时，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f(x)图象上的两点，且存在实数x₀使得，证明：x₁＜x₀＜x₂。

Answer 1

解：，
（1）当a=3时，由，
得或x=2，
所以，f(x)在上为增函数，在，上为减函数，
由题意知，且。
因为，，
所以，，
可知。
（2）①因为，
当且仅当f(n)=-f(m)=2时等号成立。
由，有，得；
由，有，得；
故f(n)-f(m)取得最小值时，a=0，n=1。
②此时，，， 
由知，，
欲证，先比较与的大小。
 
，
因为，，
所以，，有，
于是，
即，
另一方面，，
因为，，
所以，，
从而，，即，
同理可证；
因此，。