Question

已知等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^m+1）内的项的个数记为{b_m}
①求数列{b_m}的通项公式；
②记c_m=

2

22m-1-bm

，数列{c_m}的前m项和为T_m，求所有使得等式

Tm-t

Tm+1-t

=

1

ct+1

的正整数m，t．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的性质列方法求解a₁=1，d=2，即可得出通项公式．（2）求解2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，得出2^m-1+

1

2

＜n＜2^2m-1+

1

2

，即可得出项数b_m
（3）求出{c_n}通项公式，前n项和，再代入求解即可．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
∴4a₁-2d=0，a₁=d-1，∴a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴2n-1＞2^m，2n-1＜2^2m，
∴2^m-1+

1

2

＜n＜2^2m-1+

1

2

，
即项数2^2m-1-2^m-1，
∴①bm=22m-1-2m-1
∵c_m=

2

22m-1-bm

，
∴C_m=

2

2m-1

，
∴c₁=2，

Cn+1

Cn

=

1

2

，
∴{c_n}是等比数列，数列{c_m}的前m项和为T_m=

2(1-( 1 2 )m)

1- 1 2

即Tm=4(1-

1

2m

)，
∵所有使得等式

Tm-t

Tm+1-t

=

1

ct+1

∴（4-t）2^m=4+2^t-1
存在符合条件的正整数m=t=3，

点评：本题综合考察了数列的性质，几何不等式等知识，运算思维量大，属于难题．