Question

如图，椭圆C：

x2

36

+

y2

20

=1的左顶点、右焦点分别为A，F，直线l的方程为x=9，N为l上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点
（1）若M是AN的中点，求证：MA⊥MF．
（2）过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的范围．

Answer 1

分析：（1）欲证MA⊥MF，只需证明

MA • MF =0

，分别求出

MA

，

MF

的坐标，再用向量的数量积的坐标运算计算即可．
（2）欲求|PQ|的范围，需先将|PQ|用某个参数表示，再求最值，可先找到圆心坐标和半径，再利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，得到用参数表示的|PQ|，再用均值不等式求范围．

解答：解：（1）由题意得A（-6，0），F（4，0），x_N=9∴xM=

3

2

又M点在椭圆上，且在x轴上方，得yM=

5 3

2

∴ MA =(- 15 2 ，- 5 3 2 )， MF =( 5 2 ，- 5 3 2 ) ∴ MA • MF =- 75 4 + 75 4 =0 ∴MA⊥MF

（2）设N（9，t），其中t＞0，∵圆过A，F，N三点，
∴设该圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，有

36-6D+F=0 16+4D+F=0 81+t2+9D+tE+F=0

解得 D=2，E=-t-

75

t

，F=-24
∴圆心为(-1，

1

2

(t+

75

t

))，半径r=

25+ 1 4 (t+ 75 t )2

∴|PQ|=2

r2-1

=2

24+ 1 4 (t+ 75 t )2

，
∵t＞0∴t+

75

t

≥2

t• 75 t

=10

3

，当且仅当t=

75

t

，即t=5

3

时取“=”
∴|PQ|≥2

99

=6

11

，∴|PQ|的取值范围是[6

11

，+∞)

点评：本题考查了椭圆与圆之间的关系，其中圆中弦长的求法必须掌握．