Question

已知f（x）满足f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=3，则

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

 

．

Answer 1

分析：由题设条件f（p+q）=f（p）•f（q），以及其变形得到

f(p+q)

f(p)

=f(q)，利用此两式对

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

进行化简，再利用f（1）=3求值

解答：解：由题意f（x）满足f（p+q）=f（p）•f（q），故有

f(p+q)

f(p)

=f(q)
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=

2f(2)

f(1)

+

2f(4)

f(3)

+

2f(6)

f(5)

+

2f(8)

f(7)

=2f（1）+2f（1）+2f（1）+2f（1）=8f（1）
又f（1）=3
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+

f2(4)+f(8)

f(7)

=8f（1）=8×3=24
故答案为  24

点评：本题考查函数中的恒成立问题，解题的关键是对恒等式的运用，根据题设条件对恒等式进行变形，得出规律，然后利用所得的规律对所给的代数式进行化简求值，本题考查了分析推理的能力及转化化归的思想，本题较抽象，要充分挖掘所给的恒等式的作用，从尽可能多的角度研究问题，得出规律．