Question

已知

OA

=(2asin2x，a)，

OB

=(-1，2

3

sinxcosx+1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)=

OA

•

OB

+b，b＞a．
（I）若a＞0，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）若函数y=f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域为[2，5]，求实数a与b的值．

Answer 1

（I）f(x)=-2asin2x+2

3

asinxcosx+a+b=2asin(2x+

π

6

)+b
∵a＞0，∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函数y=f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（写成[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈Z)也可以）
（II）x∈[

π

2

，π]时，2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]
当a＞0时，f（x）∈[-2a+b，a+b]∴

-2a+b=2 a+b=5

，得

a=1 b=4

，
当a＜0时，f（x）∈[a+b，-2a+b]∴

a+b=2 -2a+b=5

，得

a=-1 b=3