Question

（2013•济南二模）已知点F₁(-

3

，0)和F₂(

3

，0)是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点，且椭圆M经过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且

PB

=

3

5

PA

，求直线l的方程；
（3）过点P（0，2）的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用b²=a²-c²及点(

3

，

1

2

)满足椭圆的方程即可得出．
（2）设出直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量相等即可求出；
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其对称性得出直线BC的方程即可．

解答：解：（1）由条件得：c=

3

，设椭圆的方程

x2

a2

+

y2

a2-3

=1，
把(

3

，

1

2

)代入得

3

a2

+

1

4(a2-3)

=1，解得a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）斜率不存在时，

PB

=

1

3

PA

不适合条件；
设直线l的方程y=kx+2，点B（x₁，y₁），点A（x₂，y₂），
代入椭圆M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
因为

PB

=

3

5

PA

，即(x1，y1-2)=

3

5

(x2，y2-2)，所以x1=

3

5

x2．
代入上式得x2=-

10k

4k2+1

，x22=

20

4k2+1

，解得k=±1，
所以所求直线l的方程：y=±x+2．
（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，点B（x₁，y₁），点 A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直线AB方程代入椭圆M：

x2

4

+y2=1，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
设直线CB的方程为：y-y2=

y2-y1

-x2-x1

(x+x2)，
令x=0得：y=y2-

y2x2-x2y1

x1+x2

=

x2y1+x1y2

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

+2．
把x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

代入上式得：y=

2k 12 4k2+1

-16k 4k2+1

+2=-

3

2

+2=

1

2

．
所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为(0，

1

2

)．
当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、向量相等等基础知识与方法；需要较强的推理能力和计算能力．