Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，t+1]任取的一个数，b是从区间[0，t]任取的一个数，其中t满足2≤t≤3，求方程有实根的概率，并求出其概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个，然后找出满足x²+2ax+b²=0有实数根即a≥b
的基本事件，根据古典概型的概率公式即可即可；
（2）a，b构成的实数对（a，b）满足条件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，设事件B为“方程有实根”，则此事件满足几何概型，利用几何概型的概率公式进行计算即可．

解答：解：设事件A为“方程有实根”，x²+2ax+b²=0有实数根需满足△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²．
又a≥0，b≥0，所以a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，（0，0）（1，0）（1，1）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
∴事件A发生的概率为P=

9

12

=

3

4

（2）a，b构成的实数对（a，b）满足条件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，如图
设事件B为“方程有实根”，则此事件满足几何概型
P（B）=

S阴影

S矩形

=

(1+t+1)×t 2

t(t+1)

=

t+2

2(t+1)

=

1

2

[1+

1

t+1

]
因为2≤t≤3，所以3≤t+1≤4，即

1

4

≤

1

t+1

≤

1

3

所以

5

4

≤1+

1

t+1

≤

4

3

即

5

8

≤P（B）≤

2

3

点评：本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及几何概型的概率，同时考查了画图的能力，属于中档题．