Question

已知向量=，=．
（1）若=1，求的值；
（2）记函数f（x）=，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由两向量的坐标及•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，可得出sin（+）的值，然后将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将得出的sin（+）的值代入即可求出值；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，可得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，确定出A的范围，得出+的范围，根据正弦函数的图象与性质得出sin（+）的范围，即可得出f（A）的范围．
解答：解：（1）∵（sin，1），（cos，cos²），•=1，
∴sincos+cos²=1，…（2分）
即sin+cos+=1，
∴sin（+）=，…（4分）
则cos（x+）=1-2sin2（+）=1-2•（）²=；…（7分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcocC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=，即B=，…（11分）
∴0＜A＜，
∴＜+＜，
∴＜sin（+）＜1，…（12分）
又∵f（x）=•=sin（+）+，
∴f（A）=sin（+）+，
∴1＜f（A）＜，
则函数f（A）的取值范围是（1，）．…（14分）
点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．