Question

如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值;

(2)求△ABP面积的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

解:(1)由题意知得

(2)由(1)知M(1,1),

直线OM的方程为y=x,

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).

由题意知,

设直线AB的斜率为k(k≠0).

由

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

故k·2m=1,

所以直线AB的方程为y-m=(x-m),

即x-2my+2m2-m=0.

由消去x,

整理得y2-2my+2m2-m=0,

所以Δ=4m-4m2>0,

y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.

从而|AB|=·|y1-y2|=·.

设点P到直线AB的距离为d,

则d=.

设△ABP的面积为S,则

S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.

由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.

令u=,0<u≤,则S=u(1-2u2).

设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S′(u)=1-6u2.

由S′(u)=0,得u=∈,

因此S(u)在单调递增,在单调递减,

所以S(u)max=S=.

故△ABP面积的最大值为.