Question

设向量i=(1,0),j=(0,1),a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j且|a|+|b|=8,x、y∈R.

（1）求动点P（x,y）的轨迹方程；

（2）过点M（0，3），作直线l与曲线C交于A,B两点，设ON=OA+OB，问是否存在直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:（1）∵i=(1,0),j=(0,1),|a|+|b|=8,∴=8，

即点P(x, y)到点（0，—2）与点（0，2）的距离之和为8.

设F₁（0，—2），F₂（0，2），∴|F ₁F₂|=4，|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|，

由椭圆定义知点P的轨迹C是以F₁.F₂为焦点的椭圆.

∵2a=8, 2c=4,∴a=4, c=2,∴b²=a²—c²=12,

∴所求轨迹C方程为=1.

（2）∵，∴OANB是平行四边形.

∵l过点M（0，3），若l是y轴，则A,B是椭圆的顶点，此时=0，

∴N与O重合，这与四边形是平行四边形矛盾.所以直线l的斜率k必存在.

设直线l的方程为y=kx+3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

若存在直线l使得OANB是矩形，则，OAOB∴=0，即x₁x₂+y ₁y₂=0.

而y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9，

∴(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0①

由消去y，得(3k²+4)x²+18kx—21=0②

∵Δ=(18k)²—4(3k²+4)(—21)=(18k)²+84(3k²+4)＞0，

∴方程②必有两实根x₁.x₂，且x₁+x₂=，x₁x₂=,代入①得，

-(1+k²)=0,解得k²=,

∴k=±.所以存在符合题意的直线l，其方程为：

y=或y=x+3.