Question

已知某公司为上海世博会生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=

10.8- 1 30 x2    (0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2         (x＞10)

．
（Ⅰ）写出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）当0＜x≤10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

3

-10，当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，由此能求出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式．
（Ⅱ）当0＜x≤10时，由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，推导出当x=9时，W取最大值，且w_max=38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．

解答：解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，
W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10，
当x＞10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x，
∴W=

8.1x- x3 30 -10，0＜x≤10 98- 1000 3x -2.7x，x＞10

．…（6分）
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，
由W′=8.1-

x2

10

=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，
当x∈（9，10）时，w′＜0．
∴当x=9时，W取最大值，且w_max=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6．…（9分）
②当x＞10时，W=98-（

1000

3x

+2.7x）＜98-2

1000 3x ×2.7x

=38，
当且仅当

1000

3x

=2.7x，即x=

100

9

时，W_max=38．
综合①、②知x=9时，W取最大值．…（11分）
所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．…（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．解时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．