Question

已知：a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量

a

=(sinA，2

3

sinA)，

b

=(2cosA，sinA)，设f（x）=

a

•

b

，
（1）若f(A)=2

3

，求角A；
（2）在（1）的条件下，若

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，a=2，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）根据向量的数量积公式求出f（x）的表达式，然后利用f(A)=2

3

，即可求角A；
（2）利用同角的三角关系式进行化简，求出三角形ABC中对应的边长关系即可求出三角形的面积．

解答： 解：（1）∵量

a

=(sinA，2

3

sinA)，

b

=(2cosA，sinA)，设f（x）=

a

•

b

，
∴f(x)=2sinAcosA+2

3

sin2A=sin2A-

3

cos2A+

3

=2sin(2A-

π

3

)+

3

，
若f(x)=2

3

，
则sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

或

2π

3

，
即A=

π

3

或A=

π

2

（舍去）．
（2）由

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，
则

bcosB

sinB

+

ccosC

sinC

=

2acosA

sinA

，
∴cosB+cosC=2cosA=1，
又∵B+C=

2π

3

，
∴B=C=

π

3

，
∴三角形ABC是等边三角形，
∵a=2，
∴三角形ABC的面积

3

．

点评：本题主要考查三角关系式的化简和计算，利用平面向量数量积的定义求出函数f（x）是解决本题的关键，考学生的计算能力．