Question

定义：S为R的真子集，?x，y∈S，若x+y∈S，x-y∈S，则称S对加减法封闭．有以下四个命题，请判断真假：
①自然数集对加减法封闭；
②有理数集对加减法封闭；
③若有理数集对加减法封闭，则无理数集也对加减法封闭；
④若S₁，S₂为R的两个真子集，且对加减法封闭，则必存在c∈R，使得c∉S₁∪S₂；
四个命题中为“真”的是    ．（填写序号）

Answer 1

【答案】分析：根据集合S对加减法封闭的定义，举出反例可以说明①③不正确．再结合有理数的定义与性质，可证出②正确，最后通过举例说明命题④是正确的，从而得出正确答案．
解答：解：对于①，因为存在x=1，y=2∈N，使x-y=-1∉N，故自然数集对减法不封闭，所以①不正确；
对于②，因为?x，y∈Q，有x+y∈Q且x-y∈Q成立，故则有理数对加减法封闭，故②正确；
对于③，由前面的讨论知有理数集对加减法封闭，而存在x=，y=-∈{无理数}，使x+y=0∉{无理数}，
故无理数集对加减法不封闭，所以③不正确；
对于④，可设S₁=Z，S₂=Q，它们是R的两个真子集，且对加减法封闭，存在c=∈R，且∉S₁∪S₂，故④正确．
故答案为：②④
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查我们对运算封闭性的理解，着重对自然数、有理数、无理数的运算性质进行了考查，属于基础题．