Question

已知函数（其中为常数）.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时，设函数的3个极值点为，且.

证明：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)单调减区间为,;增区间为.

(Ⅱ)利用导数研究得到，所以，

当时，，，

∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，

此时，函数有3个极值点，且；

当时，

通过构造函数，证得当时，.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)

令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	减	减	极小值	增

单调减区间为,;增区间为.  5分

(Ⅱ)由题，

对于函数，有

∴函数在上单调递减，在上单调递增

∵函数有3个极值点，

从而，所以，

当时，，，

∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，

此时，函数有3个极值点，且；

∴当时，是函数的两个零点，  9分

即有，消去有   

令，有零点，且

∴函数在上递减，在上递增

要证明   

 即证

构造函数，=0

只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增,

∴当时，. １４分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，不等式的证明。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题（II）难度较大。