Question

【题目】已知100条线段的长度集合，试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率。

Answer 1

【答案】

【解析】

易知，，于是，所求问题转化为：从1，2，…，100这100个数中任取三个不同的数，求其中两个较小的数的和大于最大数的概率.事实上，从1，2，…，100中任取三个不同的数，其不同的取法有种.下面求其中两个较小的数的和大于最大数的取法数.

先考虑一般情形：

设表示从1，2，…，这个数中任取三个数且其中两个较小的数的和大于最大数的取法数.易得，，……

在从1，2，…，这个数中，任取三个数且其中两个较小的数的和大于最大数的取法数为两部分的和，即第一部分：最大数不大于，易知，这部分不同的取法有种；第二部分：最大数为，再从1，2，…，这个数中取两个数，且这两个数的和大于.

考虑从1，2，…，这个数中取两个数中较大的数的情形，具体如表1：

表1

较大的数	最小数的可能值	个数
	2，3，…，
	3，4，…，
	4，…，
…	…	…

由此可知，当是偶数时，第二部分的取法数为

.当是奇数时，第二部分的取法数为 .

当为偶数时，得 .

则 .

故

.

因此，从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率为.