Question

在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP⊥直线OQ，求x的值．

Answer 1

分析：根据题意，可得向量

OP

、

OQ

的坐标，若OP⊥OQ，则

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=0．由此建立关于x的方程，利用二倍角的余弦公式，化简得-2cos²x+cosx=0，解之得cosx=0或

1

2

，结合x∈[0，π]可得x的值．

解答：解：∵P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），
∴

OP

=（2cosx+1，2cos2x+2，0），

OQ

=（cosx，-1，3），
又∵直线OP⊥直线OQ，可得

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=cosx（2cosx+1）-（2cos2x+2）+0×3=0，
即2cos²x+cosx-2cos2x-2=0，可得2cos²x+cosx-2（2cos²x-1）-2=0，
化简整理得-2cos²x+cosx=0，解之得cosx=0或

1

2

，
又∵x∈[0，π]，
∴x=

π

2

或

π

3

．

点评：本题给出空间点含有三角函数式的坐标，在直线互相垂直的情况下求未知数的值．着重考查了空间向量的数量积、直线位置关系的应用与二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题．