Question

某工厂生产的新型儿童玩具，当每天的产品数量依次为1，2，3，…，98件时，废品率依次为

2

99

 ， 

2

98

 ， 

2

97

 ， … ， 1．正品每件赢利10元，废品每件亏本5元（正品率与废品率之和等于1）．
（1）设每日可获得的利润为y元，将y表示为每天生产的玩具数量x的函数y=f（x）；
（2）每日生产多少件玩具，才能使所获利润最大，最大值是多少？（精确到0.01元）

Answer 1

分析：（1）设出当每天的产品数量为x件时，废品率为

2

100-x

，正品率为1-

2

100-x

，用正品的盈利减去次品的亏本表示出利润y．
（2）对函数式进行整理，换元得到能够应用基本不等式来解题的形式，利用基本不等式，写出等号成立的条件，得到结果．

解答：解：（1）当每天的产品数量为x件时，废品率为

2

100-x

，正品率为1-

2

100-x

．…（2分）
∴y=( 1-

2

100-x

 )•10x-

2

100-x

•5x=10x-

30x

100-x

（1≤x≤98，x∈N^*）．…（6分）
（2）令100-x=t，则y=10 ( 100-t )-

3000-30t

t

=1030-10 ( t+

300

t

 )（2≤t≤99，t∈N^*）．…（8分）
∵t+

300

t

≥20

3

，当且仅当t=10

3

≈17.3时等号成立，…（10分）
又t∈N^*，∴当t=17时，t+

300

t

取得最小值34.647．…（12分）
故每日生产83件玩具，才能使所获利润最大，最大值是683.53元．…（14分）

点评：本题考查了根据实际问题选择函数的模型，关键是设出生产的玩具的数量，表示出废品率和正品率，本题是一个中档题目．