Question

（2013•闸北区二模）设函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），则a，b满足（　　）

A．ab＞1

B．a-b＞1

C．ab＞10

D．a-b＞10

Answer 1

分析：由a^x-b^x＞0，可得函数的定义域为（0，+∞），然后由定义法证函数为增函数，进而可得f（x）≥f（1），只需f（1）＞0，解之可得．

解答：解：由a^x-b^x＞0，得（

a

b

）^x＞1=（

a

b

）⁰，由于（

a

b

）＞1，所以x＞0，
故f（x）的定义域为（0，+∞），任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）=lg（a^x₁-b^x₁），f（x₂）=lg（a^x₂-b^x₂）
而f（x₁）-f（x₂）=（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）=（a^x₁-a^x₂）+（b^x₂-b^x₁）
∵a＞1＞b＞0，∴y=a^x在R上为增函数，y=b^x在R上为减函数，
∴a^x₁-a^x₂＜0，b^x₂-b^x₁＜0，∴（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）＜0，即（a^x₁-b^x₁）＜（a^x₂-b^x₂）
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
一方面，当a-b＞1时，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，
而当x∈[1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈[1，+∞）；
另一方面，当a-b＞1时，由f（x）在[0，+∞）上为增函数，
可知当x∈[1，+∞）时，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，
故当a-b＞1时，f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），
故选B

点评：本题考查充要条件的判断，涉及函数定义域和单调性，属基础题．