Question

数列{a_n}，若满足点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，并且a₂+a₅=9．
（1）求证数列{a_n}为等差数列，并求出通项a_n；
（2）若，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

证明：（1）点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是公差d=1的等差数列，
∵a₂+a₅=9．
∴a₁+1+a₁+4=9，
解得a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
a_n=2+（n-1）×1=n+1．
解：（2）∵a_n=n+1，
∴==，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
=．
分析：（1）由点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，知a_n+1=a_n+1，所以{a_n}是公差d=1的等差数列，再由a₂+a₅=9．解得a₁=2．由此能求出a_n．
（2）由a_n=n+1，知==，由裂项求和法能求出S_n．
点评：本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．