Question

【题目】已知曲线f（x）= ax3﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：x＞0时， ＜ （e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2﹣ ， 故f（1）= a，f′（1）=a﹣b，
故切线方程是：y=（a﹣b）（x﹣1）+ a=（a﹣b）x﹣ a+b，
而y=﹣2x+ ，故a﹣b=﹣2，﹣ a+b= ，
解得：a=2，b=4，
故f（x）= x3﹣4lnx，（x＞0），
f′（x）=2x2﹣ = （x＞0），
当x∈（0，3 ）时，f′（x）＜0；当x∈（3 ，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，3 ）上为减函数，在x（3 ，+∞）上为增函数，
∴f（x）的极小值为f（3 ）= ﹣4ln = （1﹣ln2），无极大值；
（Ⅱ）证明：f（x）= x3﹣4lnx，
要证 ＜ ，即证 ﹣ ＜xlnx．
令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），
则g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜ ；由g′（x）＞0，得x＞ ，
∴当x= 时取得最小值，最小值为g（ ）=﹣ ，
由h（x）= ﹣ ，可得h′（x）= ，
∴当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减．
函数h（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又h（1）=﹣ ，∴h（x）＜﹣ ，
∴任意x∈（0，+∞）， ＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求得函数在点（1，f（1））处的切线l的方程，求得a，b值，进一步求出原函数的极小值点，得到f（x）的极小值；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入 ＜ ，转化为证 ﹣ ＜xlnx，分别构造函数g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）= ﹣ （0，+∞），然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．