Question

15．已知椭圆C：3x²+4y²=12和点Q（4，0），直线l过点Q且与椭圆C交于A、B两点（可以重合）．
（Ⅰ）若∠AOB为钝角（O为原点），试确定直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设点A关于长轴的对称点为A₁，F为椭圆的右焦点，试判断A₁和F，B三点是否共线，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）设直线l的方程为my=x-4，与椭圆方程联立化为（3m²+4）y²+24my+36=0，△≥0，解得m²≥4．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由∠AOB为钝角（O为原点），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，把根与系数的关系代入即可得出．
（II）由（I）可得A₁（x₁，-y₁），F（1，0）．$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（x₁-1，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），利用向量共线定理即可判断出．

解答 解：（I）设直线l的方程为my=x-4，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化为（3m²+4）y²+24my+36=0，
△=（24m）²-4（3m²+4）×36≥0，解得m²≥4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则y₁+y₂=$\frac{-24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$．
∵∠AOB为钝角（O为原点），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，化为（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16＜0．
∴$\frac{36（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+4}$-$\frac{96{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$+16＜0，
化为3m²＞25，
解得$-\frac{\sqrt{3}}{5}＜\frac{1}{m}＜\frac{\sqrt{3}}{5}$，且$\frac{1}{m}$≠0，
∴直线l的斜率的取值范围是$（-\frac{\sqrt{3}}{5}，0）$∪$（0，\frac{\sqrt{3}}{5}）$．
（II）由（I）可得A₁（x₁，-y₁），F（1，0）．
$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（x₁-1，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂）．
∴（x₁-1）y₂+y₁（x₂-1）=（my₁+3）y₂+y₁（my₂+3）=2my₁y₂+3（y₁+y₂）=$\frac{72m}{3{m}^{2}+4}-\frac{72m}{3{m}^{2}+4}$=0，
∴$\overrightarrow{F{A}_{1}}$∥$\overrightarrow{FB}$，即A₁和F，B三点共线．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量夹角公式、数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．