Question

以下各个关于圆锥曲线的命题中
①设定点F₁（0，-3），F₂（0，3），动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），则动点P的轨迹是椭圆或线段；
②过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条；
③离心率为

1

2

，长轴长为8的椭圆标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，则二次曲线

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦点坐标是（±1，0）．
其中真命题的序号为

②④

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据动点P（x，y）满足条件|PF₁|+|PF₂|=a，当a＜6，动点P的轨迹不存在，当a=6，动点P的轨迹为线段，当a＞6，动点P的轨迹为椭圆，可分析①的真假；
根据点在抛物线开口外，则与抛物线交点只有一个的直线有3条，点在抛物线上，则与抛物线交点只有一个的直线有2条，点在抛物线开口内，则与抛物线交点只有一个的直线有1条，可分析②的真假；
根据离心率为

1

2

，长轴长为8，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况分别求出椭圆的标准方程，可判断③的真假；
根据3＜k＜4，可分析出二次曲线

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的图象形状及焦点位置，进而判断④的真假；

解答：解：①中，若a＜6，则动点P的轨迹不存在，故①错误；
过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线与抛物线相切（共有两条），或与对称轴平行（共有一条），共有3条，故②正确；
离心率为

1

2

，长轴长为8的椭圆标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

12

+

y2

16

=1，故③错误；
若3＜k＜4，则二次曲线

x2

4-k

+

y2

3-k

=1为双曲线，则c²=（4-k）+（k-3）=1，此时c=1，且焦点在x轴上，故焦点坐标是（±1，0），故④正确
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了圆锥曲线的定义，性质及方程，熟练掌握圆锥曲线的定义，性质，标准方程是解答的关键．