Question

设曲线y=xⁿ（n∈N^*）与x轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为a_n，设b_n=a_na_n+1，则b₁+b₂+…+b₂₀₁₂=（　　）

• A．

  503

  1007

• B．

  2011

  2012

• C．

  2012

  2013

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：可求得a_n=

∫

1 0

xndx，由b_n=a_na_n+1，利用裂项法可求得b_n，从而可得b₁+b₂+…+b₂₀₁₂的值．

解答：解：∵得a_n=

∫

1 0

xndx
=

xn+1

n+1

|

1 0

=

1

n+1

，
∴b_n=a_na_n+1
=

1

n+1

•

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₂=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

2012+1

-

1

2012+2

）
=

1

2

-

1

2014

=

503

1007

．
故选A．

点评：本题考查数列的求和，考查定积分的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．