Question

已知函数f(x)＝，g(x)＝．

(1)计算f(4)－5f(2)g(2)；

(2)计算f(9)－5f(3)g(3)；

(3)计算f(16)－5f(4)g(4)；

(4)由(1)(2)(3)概括出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(4)－5f(2)g(2)＝＝0． 　　(2)f(9)－5f(3)g(3)＝＝0． 　　(3)f(16)－5f(4)g(4)＝＝0 　　(4)由于4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，因此概括、猜想：对任意x≠0，均有f(x2)＝5f(x)g(x)． 　　证明：∵5f(x)g(x)＝5·＝f(x2)， 　　∴对任意x≠0，均有f(x2)＝5f(x)g(x)．

提示：

思路分析：本题主要考查指数幂的运算和探究能力．依据实数指数幂的运算性质可以发现(1)(2)(3)中各式值互为相反数，故概括的结论也是一个等式． 　　绿色通道：本题探究涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的等式时，采用了归纳、猜想、证明的方法，这是我们发现结论、认识世界的主要手段．其中指数幂的运算是关键．