Question

已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（Ⅱ）解法一：建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；
解法二：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN，证明∠MNC是二面角O-PD-C的平面角，从而可求二面角O-PD-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA=PB=AB，O为AB中点，∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=5
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=5
∴OC²+CD²=OD²，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，

3

)，D（-1，3，0），C（1，2，0）
∴

OP

=(0，0，

3

)，

OD

=(-1，3，0)，

CP

=(-1，-2，

3

)，

CD

=(-2，1，0)
假设平面OPD的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为

n

=(x2，y2，z2)，则
由

OP • m =0 OD • m =0

可得

3 z1=0 -x1+3y1=0

，取y₁=1，得x₁=3，z₁=0，即

m

=(3，1，0)，
由

CP • n =0 CD • n =0

可得

-x2-2y2+ 3 z2=0 -2x2+y2=0

，取x2=

3

，得y2=2

3

，z₂=5，
即

n

=(

3

，2

3

，5)，∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

5 3

10 40

=

3

4

故二面角O-PD-C的余弦值为

3

4

．…（12分）
解法二：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．
则由于PO⊥平面OCD，PO?平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM?平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O-PD-C的平面角．
在Rt△OCD中，CM=

OC•CD

OC2+CD2

=

10

2

，
在Rt△PCD中，CN=

PC•CD

PC2+CD2

=

2 10

13

，
所以MN=

CN2-CM2

=

15 26

，所以cos∠MNC=

MN

CN

=

3

4

故二面角O-PD-C的余弦值为

3

4

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．