Question

设直线与椭圆相切。 （I）试将用表示出来；  （Ⅱ）若经过动点可以向椭圆引两条互相垂直的切线，为坐标原点，求证：为定值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（I）将代入得，整理得

   

    由得，故

   （Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于时，设其中一条的斜率为k，

    则另外一条的斜率为  于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为

        ①  又椭圆斜率为的切线方程为

        ②   由①得

    由②得    两式相加得

    于是，所求P点坐标满足

    因此， 当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有  所以为定值。