Question

某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（1≤m≤4，且m∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）=

16 8-x ，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据一次投放4个单位的药剂，结合分段函数，建立不等式，即可求出有效治污时间；
（Ⅱ）根据第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，建立函数解析式，利用基本不等式可得结论．

解答：解：（I）∵m=4，∴y=

64 8-x (0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

．                  …（2分）
当0≤x≤4时，由

64

8-x

≥4，解得x≥-8，此时0≤x≤4；
当4＜x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，此时4＜x≤8．        …（4分）
综上，得0≤x≤8．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．…（6分）
（II）当6≤x≤10时，y=2×(5-

1

2

x)+m[

16

8-(x-6)

]=10-x+

16m

14-x

=14-x+

16m

14-x

-4，…（9分）
又14-x∈[4，8]，m∈[1，4]，则y≥2

16m

-4=8

m

-4．
当且仅当14-x=

16m

14-x

，即14-x=4

m

∈[4，8]时取等号．
令8

m

-4≥4，解得m≥1，
故所求m的最小值为1．                    　　　　　　    …（14分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数的运用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．