Question

已知a是实数，函数f(x)=

x

(x-a)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（i）写出g（a）的表达式；
（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数的单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数的单调区间即可．
（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上单调递减，在(

a

3

，2]上单调递增，所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令-6≤g（a）≤-2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．则求出a的取值范围即可．

解答：解；（Ⅰ）解：函数的定义域为[0，+∞），f′(x)=

x

+

x-a

2 x

=

3x-a

2 x

（x＞0）．
若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得x=

a

3

，当0＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，
当x＞

a

3

时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间[0，

a

3

]，单调递增区间(

a

3

，+∞)．
（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上单调递减，在(

a

3

，2]上单调递增，
所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．
综上所述，g(a)=

0 a≤0 - 2a 3 a 3 0＜a＜6 2 (2-a) a≥6

改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．故a的取值范围为3≤a≤2+3

2

．

点评：本题主要考查函数的性质、求导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．