Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5，点A（1，-3）
（Ⅰ）求过点A与⊙C₁相切的直线l的方程；
（Ⅱ）设⊙C₂为⊙C₁关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为

2

？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判定点在圆上，用点斜式求切线l的方程．
（Ⅱ）求出对称圆的方程，设x轴上P点坐标，利用半径和PC₂的距离，解出两个切线长，再用切线长之比解出结果．

解答：解：（Ⅰ）C1(0，-5)，r1=

5

，
因为点A恰在⊙C₁上，所以点A即是切点，KC1A=

-3+5

1

=2，所以k1=-

1

2

，
所以，直线l的方程为y+3=-

1

2

(x-1)，即x+2y+5=0；
（Ⅱ）因为点A恰为C₁C₂中点，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
设P(a，0)，

P C 2 1 -5

P C 2 2 -5

=2①，或

P C 2 2 -5

P C 2 1 -5

=2②，
由①得，

a2+20

(a-2)2-4

=2，解得a=-2或10，所以，P(-2，0)或(10，0)，
由②得，

a2-4a

a2+20

=2，求此方程无解．
综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．

点评：本题（Ⅰ）A点的判定；（Ⅱ）中直角三角形的应用，对称性，弦长等知识的考查，都为本题增加了难度．