Question

在极坐标系中，极点为O，已知曲线C₁：ρ=2与曲线C₂：ρsin(θ-

π

4

)=

2

，交于不同的两点A，B．
（1）求|AB|的值；
（2）求过点C（1，0）且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₁和曲线C₂ 的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．
（2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程

解答：解：（1）曲线C₁：ρ=2，即x²+y²=4，表示以原点O（0，0）为圆心，半径等于2的圆．
曲线C₂：ρsin(θ-

π

4

)=

2

，即 x-y+2=0，表示一条直线．
圆心到直线的距离为d=

|0-0+2|

2

=

2

，故弦长|AB|=2

r2-d2

=2

2

．
（2）设过点C（1，0）且与直线AB平行的直线l的方程为 x-y+m=0，把点C的坐标代入求得m=-1，
故直线l的方程为 x-y-1=0，即 ρcosθ-ρsinθ-1=0，即

2

ρsin（θ-

π

4

）=1．

点评：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线和圆相交的性质，弦长公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．