Question

12．已知|x+2|+|6-x|≥k恒成立
（1）求实数k的最大值；
（2）若实数k的最大值为n，正数a，b满足$\frac{8}{5a+b}+\frac{2}{2a+3b}=n$，求7a+4b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由|x+2|+|6-x|≥m恒成立，设函数g（x）=||x+2|+|6-x||，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=8，变形，利用基本不等式的性质即可得出

解答 解：（1）|x+2|+|6-x|≥k恒成立；
设g（x）=|x+2|+|6-x|，则g（x）_min≥k．
又|x+2|+|6-x|≥|（x+2）+（6-x）|=8，
当且仅当-2≤x≤6时，g（x）_min=8
所以k≤8．
即实数k的最大值为8，
（2）由（1）可知，n=8，
∴$\frac{8}{5a+b}+\frac{2}{2a+3b}=8$，
即$\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}=4$，有由于a，b均为正数，
所以7a+4b=$\frac{1}{4}$ （7a+4b）•（ $\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}$）
=$\frac{1}{4}$[（5a+b）+（2a+3b）]•（ $\frac{4}{5a+b}+\frac{1}{2a+3b}$）
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（2a+3b）}{5a+b}+\frac{5a+b}{2a+3b}$]≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
所以4a+3b的最小值是$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．