Question

12．（1）解不等式$\frac{2x+1}{3-x}≥1$
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求 $\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$ 的最小值．

Answer 1

分析 （1）移项，转化为解不等式组，求出解集即可；（2）求出x+y=1，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

解答 解：（1）原不等式转化为：
$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）（x-2）≥0}\\{x-2≠0}\end{array}\right.$，
解得x≤1或x＞2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x＞2}；
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$）=13+$\frac{4y}{x}$+$\frac{9x}{y}$
≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=25，
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{9x}{y}$时等号成立，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ \frac{4y}{x}=\frac{9x}{y}\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}\\ y=\frac{3}{5}.\end{array}$
∴当x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{3}{5}$时取等号，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{y}$的最小值为25．

点评 本题考查了解不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．