Question

5．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交抛物线C的准线l于点M，已知$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析 （I）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线y=$\frac{p}{4}$上，再根据Q到抛物线C的准线的距离为3，由此列方程并解之可得p=2，从而得到抛物线C的方程；
（II）设直线l：y=kx+1，M点坐标为（-$\frac{2}{k}$，-1），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线与抛物线方程联立，可得：x²+16kx-64=0，再由根的判别式和韦达定理能求出λ₁+λ₂的值．

解答 解：（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x²=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=$\frac{p}{4}$，设Q（x_Q，y_Q），得y_Q=$\frac{p}{4}$，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{p}{4}$-（-$\frac{p}{2}$）=$\frac{3}{2}$，解之得p=2
由此可得，抛物线C的方程为x²=4y；
（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，
由抛物线x²=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=-1，
所以可设l：y=kx+1，则M点坐标为（-$\frac{2}{k}$，-1），
设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线与抛物线方程联立，可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
又由$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁+$\frac{2}{k}$，y₁+1）=λ₁（-x₁，1-y₁），
∴x₁+$\frac{2}{k}$=-λ₁x₁，
∴λ₁=-$\frac{2}{k{x}_{1}}$-1，
同理λ₂=-$\frac{2}{k{x}_{2}}$-1，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{2}{k{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{k{x}_{2}}$-1=-$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{k{x}_{1}{x}_{2}}$-2=0．

点评 本题给出抛物线上两个点与它的焦点在同一个圆上，在已知圆心到准线距离的情况下求抛物线方程并探索求λ₁+λ₂的值，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．