Question

13．如图，在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、E分别是A₁C、BC的中点，P是线段A₁O上一动点．
（1）求直线PA₁与平面AB₁P所成角的正弦的取值范围；
（2）当直线PA₁与平面AB₁P所成的角最大时，在平面A₁CD上是否存在一点Q，使得点Q同时满足下列两个条件：①EQ⊥AP；②|D₁Q|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，设$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}O}$，（0＜λ≤1），利用向量法能求出直线PA₁与平面AB₁P所成角的正弦的取值范围．
（2）当直线PA₁与平面AB₁P所成的角最大时，P（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$），设Q（m，n，1-n），利用向量法推导出在平面A₁CD上不存在一点Q，使得点Q同时满足下列两个条件：①EQ⊥AP；②|D₁Q|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}O}$，（0＜λ≤1），P（a，b，c），
A₁（0，0，1），A（0，0，0），B₁（1，0，1），C（1，1，0），O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴（a，b，c-1）=（$\frac{1}{2}λ，\frac{1}{2}λ，-\frac{1}{2}λ$），∴P（$\frac{λ}{2}，\frac{λ}{2}$，1-$\frac{λ}{2}$），
$\overrightarrow{P{A}_{1}}$=（$\frac{λ}{2}，\frac{λ}{2}$，-$\frac{λ}{2}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{λ}{2}，\frac{λ}{2}，1-\frac{λ}{2}$），
设平面AB₁P的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AP}_{\;}}=\frac{λ}{2}x+\frac{λ}{2}y+（1-\frac{λ}{2}）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{2}{λ}-2$，-1），
设直线PA₁与平面AB₁P所成角为θ，
则sinθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{P{A}_{1}}|}$|=|$\frac{\frac{λ}{2}+\frac{λ}{2}（\frac{2}{λ}-2）+\frac{λ}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}{λ}^{2}}•\sqrt{2+（\frac{2}{λ}-2）^{2}}}$|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{6（λ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}}$，
∵0＜λ≤1，∴$λ=\frac{2}{3}$时，（sinθ）_max=1．λ=0时，（sinθ）_min=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{6×\frac{4}{9}+\frac{4}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PA₁与平面AB₁P所成角的正弦的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．
（2）当直线PA₁与平面AB₁P所成的角最大时，P（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$），E（1，$\frac{1}{2}$，0），
∵设点Q在平面A₁CD上，∴设Q（m，n，1-n），又D₁（0，1，1），m，n∈（0，1），
∴$\overrightarrow{EQ}$=（m-1，n-$\frac{1}{2}$，1-n），$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$=（m，n-1，-n），
∵EQ⊥AP，|D₁Q|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（m-1）+\frac{1}{3}（n-\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}（1-n）=0}\\{\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}+（-n）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{6}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，都不成立，
∴在平面A₁CD上不存在一点Q，使得点Q同时满足下列两个条件：①EQ⊥AP；②|D₁Q|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的取值范围的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．