Question

（2008•扬州二模）已知二次函数f（x）=x²-2x+6，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，

1

2

），c=（cos2x，1），d=（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集为

（

π

4

，

3π

4

）

．

Answer 1

分析：由已知中二次函数f（x）=x²-2x+6，根据二次函数的图象和性质，我们可以分析出f（x）在（1，+∞）内单调递增，由向量数量积公式，及已经中各向量的坐标，我们易判断出

a

•

b

≥1，

c

•

d

≥1，进而将f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化为

a

•

b

＞

c

•

d

，结合三角函数的性质及x∈[0，π]，可求出不等式的解集．

解答：解：∵二次函数f（x）=x²-2x+6，
∴f（x）图象关于x=1对称，
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
又∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos²x+1≥1，
则f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化为

a

•

b

＞

c

•

d

，
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
又∵x∈[0，π]，
∴x∈（

π

4

，

3π

4

）．
故不等式的解集为（

π

4

，

3π

4

）．
故答案为：（

π

4

，

3π

4

）．

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，二次函数的图象和性质，平面向量的数量积公式，三角函数的图象和性质，其中根据二次函数的图象和性质分析出f（x）在（1，+∞）内单调递增进而将f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化为

a

•

b

＞

c

•

d

是解答本题的关键．