Question

设数列n²a_n的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）若数列b_n满足b_n=a₁a₂a₃…a_n，n∈N^*，求数列b_n的通项公式及前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，求证：

3

b1

+

32

2b2

+

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式可先求n²a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，进一步可求a_n
（2）结合（1）可知an=

3(n+1)

n

，代入可求b_n，利用“乘公比错位相减”求T_n
（3）结合（1）（2）可得，

3n

nbn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和

解答：解：（1）当n=1时，a₁=6；
当n≥2时，S_n=n（n+1）（n+2）①
S_n-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n²a_n=3n（n+1），即an=

3(n+1)

n

．
综上得：an=

3(n+1)

n

．（4分）
（2）因为an=

3(n+1)

n

，
所以bn=a1a2a3an=

3×2

1

×

3×3

2

×

3×4

3

××

3(n+1)

n

=3n(n+1)．
故b_n=3ⁿ（n+1）．（6分）
T_n=2•3+3•3²+4•3³+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ．③
3T_n=2•3²+3•3³+4•3⁴+…+n•3ⁿ+（n+1）•3ⁿ⁺¹．④
③-④得：-2T_n=2•3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹=

1

2

•3n+1+ 

3

2

-(n+1)•3n+1
化简得：Tn=(

n

2

+

1

4

)•3n+1-

3

4

．（9分）
（3）由b_n=3ⁿ（n+1），得

3n

bn

=

1

n+1

，等式两端同时乘以

1

n

，
得

3n

nbn

=

1

n(n+1)

．则有

3

b1

+

32

2b2

+ 

33

3b3

+…+

3n

nbn

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+ 

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

点评：本题考查了数列的递推公式a_n=s_n-s_n-1，（n≥2），a₁=s₁由“和”与“项”的转化；叠乘求数列的通项公式；“乘公比错位相减”求数列的和、裂项求和等知识的综合运用．