Question

（1）已知两圆x²+y²-10x-10y=0，x²+y²+6x-2y-40=0，判断他们的位置关系，如果相交，求它们的公共弦所在直线的方程；
（2）一条光线从点A（-2，3）射出，经x轴反射后，与圆（x-3）²+（y-2）²=1相切，求反射线经过所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）将两个圆进行配方得到圆的标准方程，利用圆心和半径之间的关系两圆的位置关系．
（2）利用对称性求点A（-2，3）关于x的对称点，利用反射关系的性质求出反射关系的斜率，利用直线与圆的位置关系求解．

解答：解：（1）两圆的标准方程为（x-5）²+（y-5）²=50，（x+3）²+（y-1）²=50，
所以两圆的圆心分别为A（5，5），B（-3，1），半径分别为r=R=5

2

．
两圆圆心之间的距离为|AB|=

(5+3)2+(5-1)2

=

80

=4

5

，
因为r-R＜4

5

＜r+R，所以两圆相交．
将圆的方程进行相减得2x+y-5=0，
即它们的公共弦所在直线的方程2x+y-5=0．
（2）设反射关系的斜率为k，则根据反射光线的性质可知，反射光线必过点A关于x轴的对称点（-2，-3），
所以反射光线的方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0．
所以圆心（3，2）到直线kx-y+2k-3=0的距离d=

|3k-2+2k-3|

k2+1

=

|5k-5|

k2+1

=1，
解得k=

4

3

或

3

4

，即反射光线的方程为4x-3y-1=0或者3x-4y-6=0．

点评：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的判断，要求熟练掌握直线与圆位置关系的判断．