Question

21、如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M，N分别是AE，PA的中点．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求证：平面CMN⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）要证MN∥平面ABC，只需证明MN平行平面ABC内的直线BC即可；
（2）要证平面CMN⊥平面PAC，只需证明BC⊥平面PAC，又有MN∥BC，即可证明平面CMN⊥平面PAC．

解答：证明：（1）∵M，N分别是AE、PA的中点，
∴MN∥PE，
∵PE∥CB，∴MN∥CB，
∵MN不在平面ABC中，
BC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
（2）∵平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∵MN∥BC，∴MN⊥平面PAC
∵MN?平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC．

点评：本题为考查直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．