Question

已知数列a_n是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列b_n满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列b_n的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，得

a12=S1 a22=S3

，由此能求出求a₁、d和T_n；
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，λ需满足λ＜25．②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，λ需满足λ＜-21．综合①、②可得λ的取值范围．
（3）T1=

1

3

， Tm=

m

2m+1

， Tn=

n

2n+1

，若T₁，T_m，T_n成等比数列，则

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，可得-2m²+4m+1＞0，由此能求出求出所有m，n的值．

解答：解：（1）在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

（2分）
解得a₁=1，d=2，（3分）∴a_n=2n-1．∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．（6分）∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．（8分）∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时2n-

8

n

取得最小值-6．∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=

1

3

， Tm=

m

2m+1

， Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．（11分）
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即-2m²+4m+1＞0，（12分）∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．（14分）

点评：本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力．