Question

已知正数数列{a_n}满足(n∈N^*),

(1)求a₁,a₂,a₃;

(2)猜测a_n的表达式,并证明你的结论.

Answer 1

解析:=a₁+1(a₁-1)²=0?a₁=1;?

=a₂+1a₂=3;?

=a₃+1a₃=5.?

猜想a_n=2n-1.?

证明:当n=1时,显然成立.?

假设n=k时成立,即a_k=2k-1,?

则n=k+1时,=a_k+1+1.                  ①?

∵S_k=()·k,                                            ②

②代入①得(a_k+1-1)²=4k²,?

∴a_k+1=2k+1=2(k+1)-1.?

因此,对任意自然数n∈N^*,有a_n=2n-1成立.