Question

19．下列说法正确的个数是（　　）
①命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“$?{x_0}∈R，x_0^3-x_0^2+1＞0$；
②“$b=\sqrt{ac}$”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；
③“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 直接写出全程命题的否定判断①；举例说明②错误；由直线垂直与系数的关系求出直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直时的m值判断③．

解答 解：①命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，${{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}+1$＞0，故①正确；
②由$b=\sqrt{ac}$，不一定有a，b，c成等比数列，如a=0，b=0，c=1，
反之，三个数a，b，c成等比数列，不一定有$b=\sqrt{ac}$，如a=1，b=-2，c=4．
∴“$b=\sqrt{ac}$”是“三个数a，b，c成等比数列”的既不充分也不必要的条件，故②错误；
③当m=-1时，两直线分别化为-x-3y+1=0和3x-y+2=0，两直线垂直，
反之，由两直线垂直，得3m+m（2m-1）=0，解得m=0或m=-1．
∴“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，故③错误．
∴正确的命题个数是1个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定，训练了充分必要条件的判定方法，是中档题．