Question

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是________．

Answer 1

分析：方法1：拆分函数f（x），根据直线的斜率观察可知在[1，2]范围内，直线y₂与y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围
方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围
解答：方法1：可以看作y₁=x₃，y₂=3b（x-1），且y₂＜y₁
x₃的图象和x₂类似，只是在一，三象限，
由于[1，2]，讨论第一象限即可
直线y₂过（1，0）点，斜率为3b．
观察可知在[1，2]范围内，直线y₂与y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值．
对y₁求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x₂），b的最大值为x₂．
相切即是有交点，y₁=y₂ 3x₂（x-1）=x₃ x=1.5
则b的最大值为x₂=9/4，
那么b＜9/4．
方法2：f（x）=x^3-3bx+3b
f'（x）=3x^-3b b≤0时，
f（x）在R上单调增，只需f（1）=1＞0，显然成立；
b＞0时，令f'（x）=0 x=±√b---＞f（x）在[√b，+∞）上单调增，在[-√b，√b]上单调减；
如果√b≤1即b≤1，只需f（1）=1＞0，显然成立；
如果√b≥2即b≥4，只需f（2）=8-3b＞0---＞b＜8/3，矛盾舍去；
如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必须f（√b）=b√b-3b√b+3b＞0
-b（2√b-3）＞0
√b＜3/2
b＜9/4，
即：1＜b＜9/4
综上：b＜9/4
点评：考查学生的解题思维，万变不离其宗，只要会了函数的求导就不难解该题了．