Question

已知．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（I）函数f（x）=sin²2x-sin2xcos2x
=-sin4x=-sin（4x+），
∵ω=4，∴T==；
（II）∵2kπ+＜4x+＜2kπ+，即+＜x＜+，k∈Z时，
正弦函数sin（4x+）单调递减，此时f（x）单调递增，
则f（x）的单调递增区间为（+，+），k∈Z．
分析：（I）利用平面向量的数量积运算法则计算•，列出函数解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期；
（II）根据正弦函数的单调递减区间[2kπ+，2kπ+]，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集即为函数的单调递增区间．
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．