Question

设点P在曲线y=e^x上，Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  2

• D．2(

  2

  -1)

Answer 1

分析：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离．

解答：解：∵曲线y=e^x与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d
设曲线y=e^x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1
∴d=

1

1+1

=

2

2

∴丨PQ丨的最小值为2d=2×

2

2

=

2

故选C．

点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，以及导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，同时考查了化归的思想方法，属于中档题．