Question

已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，则m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①若α∥β，则由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n与m⊥n矛盾，因此α与β不平行，所以一定相交，由α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β．
②若α∩β=l，且m∥l时也满足条件，故不一定α∥β．
③由条件也可能α∥β．④由条件也可能α与β相交．

解答：解：①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾；若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确．
②若α∩β=l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确．
③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确．
④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．
综上可知只有①正确．
故选B．

点评：本题综合考查了线面、线线之间的平行与垂直的关系，正确理解其判定定理与性质定理是解决问题的关键，举出反例可以否定一个命题．