Question

15．若双曲线C与椭圆x²+4y²=64有相同的焦点，它的一条渐近线方程是$x+\sqrt{3}y=0$，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，根据双曲线的一条渐近线方程为$x+\sqrt{3}y=0$，设双曲线的方程为x²-3y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}$=1，可得λ+$\frac{1}{3}$λ=48，即可求出双曲线的方程．

解答 解：椭圆x²+4y²=64的焦点坐标为（±4$\sqrt{3}$，0），
∴双曲线的焦点坐标为（±4$\sqrt{3}$，0），
∵双曲线的一条渐近线方程为$x+\sqrt{3}y=0$，
∴设双曲线的方程为x²-3y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}$=1
∴λ+$\frac{1}{3}$λ=48，
∴λ=36，
∴双曲线的方程为$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{12}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的焦点坐标是关键．