Question

某班级共有50名学生，其中男同学30人，女同学20人．现按性别分层抽样，抽取10人成立一兴趣小组，该兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差x（°C）	10	11	13	12	8	6
就诊人数y（人）	22	25	29	26	16	12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取4组，用这4组数据求线性回归方程，用剩下的2组数据进行检验．
（1）若从兴趣小组中推选出2人担任正、副组长．记这2人中“是女生”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
（2）若选取的是2至5月份的4组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得到的线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=

n i=1 ( x   i - . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x．

）

Answer 1

分析：（1）首先求出10人兴趣小组中男女生各占的人数，其中男生6人，女生4人，所以选出2人中“是女生”的人数为ξ的取值分别为0，1，2，
然后运用古典概率模型求出对应的概率，列出分布列后运用公式求期望；
（2）选出2至5月份的4组数据，求出

.

x

和

.

y

，代入给出的公式求出b和a，则线性回归方程可求；
（3）把1月份和6月份的数据代入回归方程验证即可．

解答：解：（1）用分层抽样的方法，选出的10人中，男同学为30×

1

5

=6人，女同学为20×

1

5

=4人，
故ξ的可能取值是0、1、2．
则p（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，p（ξ=1）=

C 1 6 C 1 4

C 2 10

=

8

15

，p（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=0.8
（2）选出的四组数据为（11，25），（13，29），（12，26），（8，16）

.

x

=

1

4

(11+13+12+8)=11，

.

y

=

1

4

(25+29+26+16)=24
根据参考公式得
b=

(11-11)(25-24)+(13-11)(29-24)+(12-11)(26-24)+(8-11)(16-24)

(11-11)2+(13-11)2+(12-11)2+(8-11)2

=

18

7

a=24-

18

7

×11=-

30

7

．
所以线性回归方程：y=

18

7

x-

30

7

．
（3）令x=10，得y=

150

7

，|

150

7

-22|=

4

7

＜2
令x=6，得y=

78

7

，|

78

7

-12|=

6

7

＜2
∴所得的线性回归方程是理想的．

点评：本题考查了分层抽样方法，线性回归方程及离散型随机变量的分布列，考查了古典概型及其概率的求法，解答此题的关键是正确列出随机变量ξ的分布列，此题是中档题．