Question

2．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求k∈N₊在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．
（2）根据不等式求出a的取值范围，判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化即可．
（3）利用换元法，结合一元二次函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，…（2分）
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
若f（1）＜0，则a-$\frac{1}{a}$＜0，
∵a＞0且a≠1，
∴a²-1＜0，即0＜a＜1  …（4分）
∵a^x单调递减，a^-x单调递增，
故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5
$（3）∵f（1）=\frac{3}{2}$…（8分），
∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}，即2{a^2}-3a-2=0$，
∴$a=2或a=-\frac{1}{2}（舍去）$…（9分）
g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2
令t=2^x-2^-x
∵t=2^x-2^-x在[1，+∞）上为递增的，
∴$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$…（12分）
∴设h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，$t∈[\frac{3}{2}，+∞）$
∴$h{（t）_{min}}=h（\frac{3}{2}）=\frac{5}{4}$，
即g（x）在[1，+∞）上的最小值为$\frac{5}{4}$．…（14分）

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合较强．